Question

（2011•邯郸一模）（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．
求证：AB=DE，AB⊥DE；
（2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且

AC

CD

=

BC

CE

=

3

，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．
（3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且

AC

CD

=

BC

CE

=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．

Answer 1

分析：（1）证明△ABC≌△DEC，则可以得到AB=DE，然后证明∠EDC+∠ABC=90°，则依据三角形内角和定理证得：∠BFD=90°，证得AB⊥DE；
（2）利用相似三角形的判定得出△ABC∽△DEC，根据相似三角形的边的比相等证得AB、DE的关系，与（1）的方法相同证得AB⊥DE；
（3）利用相似三角形的判定得出△ABC∽△DEC，与（2）的方法相同，即可求得．

解答：证明：（1）在△ABC和△DEC中，

AC=DC ∠ACB=∠DCE=90° BC=EC

，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．           
∴AB=DE，∠BAC=∠EDC．
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠EDC+∠ABC=90°．
∴∠BFD=90°．
∴AB⊥DE．                        
（2）AB=

3

DE，AB⊥DE．               
∵

AC

CD

=

BC

CE

=

3

，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴

AB

DE

=

3

，∠BAC=∠EDC．
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠EDC+∠ABC=90°．
∴∠BFD=90°．
∴AB⊥DE．                           
（3）∵

AC

CD

=

BC

CE

=k，∠ACB=∠ACD
∴△ABC∽△DEC，
∴

AB

DE

=

AC

CD

=k，∠BAC=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，AC⊥CD，
∴∠BAC+∠AEF=∠DEC+∠CDE=90°
∴∠AFE=90°，
∴AB⊥DE

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解相似与全等的关系，理解每个小题之间的联系是关键．