Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标轴上有A、B、C、D四个点，且OA=OC=2OD=4OB=4．
（1）求经过A、D两点的直线表达式及经过A、B、C三点的抛物线的表达式．
（2）E为抛物线的顶点，在直线AD上有一动P，求当S_△OAP﹕S_{四边形AECB}=1﹕7时点P的坐标．
（3）点M是第一象限内的抛物线上的一个动点，过点M向x轴作垂线，垂足为N，问：是否存在点M使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）求出OB、OD的长，然后写出点A、B、C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式和抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出顶点E的坐标，再根据四边形AECB的面积等于两个直角三角形的面积加上一个梯形的面积列式求解，再求出△OAP的面积，然后求出点P到OA的距离，再分点P在x轴下方和上方两种情况求出点P的纵坐标，然后代入直线AD的解析式计算即可求出点P的坐标；
（3）根据抛物线解析式设出点M的坐标，从而得到OM、MN的长，再分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵2OD=4OB=4，
∴OD=2，OB=1，
∴B（-1，0），D（0，-2），
∵OA=OC=4，
∴A（4，0），C（0，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4k+b=0 b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-2

，
∴直线AD的解析式为y=

1

2

x-2，
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴顶点E的坐标为（

3

2

，

25

4

），
∴S_{四边形AECB}=

1

2

×1×4+

1

2

×（4+

25

4

）×

3

2

+

1

2

×（4-1.5）×

25

4

，
=2+

123

16

+

125

16

，
=

35

2

，
设点P到OA的距离为h，∵S_△OAP：S_{四边形AECB}=1：7，
∴

1

2

×4h=

35

2

×

1

7

，
解得h=

5

4

，
①点P在x轴下方时，点P的纵坐标为-

5

4

，
此时，

1

2

x-2=-

5

4

，
解得x=

3

2

，
点P的坐标为（

3

2

，-

5

4

），
点P在x轴上方时，点P的纵坐标为

5

4

，
此时，

1

2

x-2=

5

4

，
解得x=

13

2

，
所以，点P的坐标为（

13

2

，

5

4

），
综上所述，点P的坐标为（

3

2

，-

5

4

）或（

13

2

，

5

4

）；

（3）设抛物线上点M的坐标为（x，-x²+3x+4），
∵MN⊥x轴，
∴OM=x，MN=-x²+3x+4，
∵以O、M、N为顶点的三角形与△AOD相似，
∴

-x2+3x+4

x

=

4

2

，
整理得，x²-x-4=0，
解得x₁=

1+ 17

2

，x₂=

1- 17

2

（舍去），
此时，-x²+3x+4=-（

1+ 17

2

）²+3×

1+ 17

2

+4=1+

17

，
所以，点M的坐标为（

1+ 17

2

，1+

17

）；
或

-x2+3x+4

x

=

2

4

，
整理得，2x²-5x-8=0，
解得x₁=

5+ 89

4

，x₂=

5- 89

4

（舍去），
此时，-x²+3x+4=-（

5+ 89

4

）²+3×

5+ 89

4

+4=

5

8

+

89

8

，
所以，点M的坐标为（

5+ 89

4

，

5

8

+

89

8

），
综上所述，存在点M（

1+ 17

2

，1+

17

）或（

5+ 89

4

，

5

8

+

89

8

），使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，把不规则图形转化为规则三角形和四边形求面积的方法，相似三角形对应边成比例的性质，运算量较大，计算时要仔细认真．