Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列五个结论：
①AD上任意一点到AB、AC两边的距离相等；
②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；
③AD⊥BC，且BD=CD；
④∠BDE=∠CDF；
⑤AE=AF．
其中，正确的有

①②③④⑤

填序号）

Answer 1

分析：根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出①②③正确，然后利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CDF，全等三角形对应边相等可得BE=CF，然后求出AE=AF，从而最后得解．

解答：解：∵AD平分∠BAC，
∴AD上任意一点到AB、AC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边的距离相等），故①正确；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=CD，故③正确，
∴AD上任意一点到B、C两点的距离相等（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），故②正确；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠BDE=∠CDF，故④正确；
BE=CF，
∴AB-BE=AC-CF，
即AE=AF，故⑤正确，
综上所述，正确的有①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．

点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．