Question

【题目】已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠CAB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∵∠OAD=∠DAE

∴∠ODA∠DAE．

∴DO∥MN，

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°

即OD⊥DE，

∵D在⊙O上

∴DE是⊙O的切线

（2）解：连接CD

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴AD= = =3 ，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE，

∴ ，

∴ = ，

∴AC=15，

∴⊙O的半径是7.5cm

（3）解：作OF⊥MN于F，则四边形ODEF是矩形，OF=AD=6，

∴AF= = =4.5，

∴tan∠CAB= = = ．

【解析】（1）连接OD欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．（2）连接CD，首先求出AD，由△ACD∽△ADE，得到 ，即可求出AC解决问题．（3）作OF⊥MN于F，则四边形ODEF是矩形，根据tan∠CAB= ，求出AF即可解决问题．