Question

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG=

 

．

Answer 1

分析：连接OD，则OD⊥AC、OD∥CB，易证得OD是△ABC的中位线，则OD=3；由此可求得OF、BF的长；根据OD∥CB，可证得△ODF、△BFG都是等腰三角形，所以BF=BG=3

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-3，再由CG=BC+BG即可求出CG的长．

解答：解：连接OD，则OD⊥AC；
∵∠C=90°，
∴OD∥CB；
∵O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，即OD=

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2

BC=3；
∵AC=BC=6，∠C=90°，
∴AB=6

2

，则OB=3

2

，
∵OD∥CG，
∴∠ODF=∠G；
∵OD=OF，则∠ODF=∠OFD，
∴∠BFG=∠OFD=∠G，
∴BF=BG=OB-OF=3

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-3，
∴CG=BC+BG=6+3

2

-3=3

2

+3．

点评：此题主要考查了切线的性质，三角形中位线定理及等腰三角形的性质等知识的综合应用，能够发现△BFG是等腰三角形是解答此题的关键．