Question

2．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB=10，BC=21，sinB=$\frac{4}{5}$．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．

Answer 1

分析 （1）如图作AH⊥BC于H，分别在Rt△ABH，Rt△ACH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE=AD=x，BE=BF=y，CF=CD=z，则有$\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{y+z=21}\\{z+x=17}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题；

解答 解：（1）如图作AH⊥BC于H，

在Rt△ABH中，∵AB=10，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴AH=8，BH=6，
∵BC=21，
∴CH=15，
在Rt△ACF中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{5}^{2}}$=17．
∴AC=17

（2）如图设切点分别为D、E、F，AE=AD=x，BE=BF=y，CF=CD=z，
则有$\left\{\begin{array}{l}{x+y=10}\\{y+z=21}\\{z+x=17}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=7}\\{z=14}\end{array}\right.$
∴r_A=3，r_B=7，r_C=14．

点评 本题考查相切两圆的性质、锐角三角函数、勾股定理，三元方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．