Question

2．已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．
（1）如图1试说明：∠ACB=∠CED．
（2）若AC=CE，试求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠EDC=90°，得出∠CED+∠ECD=90°，再根据∠ACE=90°，得出∠ACB+∠ECD=90°，最后根据同角的余角相等，即可得出∠ACB=∠CED；
（2）先判定△ABC≌△CDE，得出DE=BC，AB=CD=4（cm），进而得出BC=BD-CD=10-4=6（cm），根据全等三角形的对应边相等，即可得出DE=6（cm）．

解答 解：（1）如图1，∵AB∥DF，∠B=90°，
∴∠EDC=180°-∠ABC=90°，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠CED；

（2）如图2，∵∠EDC=90°，∠B=90°，
∴∠B=∠EDC，
由（1）可得，∠ACB=∠CED，
在△ABC和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EDC}\\{∠ACB=∠CED}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDE，
∴DE=BC，AB=CD=4（cm），
∴BC=BD-CD=10-4=6（cm），
∴DE=6（cm）．

点评 本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中求证△ABC≌△CDE是解题的关键．