Question

4．如图1，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），直线y=-x+b（b≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，
（1）当b=-3时，求P点坐标；
（2）连接OQ，存在实数b，使得S_△ODQ=S_△OCD，请求出b的值；
（3）如图2，当b=-3时，直线y=a（a＞0）与直线PQ交于点M，与双曲线交于点N（不同于M），若PM=PN，则a的值是4．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法可求得直线和反比例函数的解析式，联立两函数解析式可求得P点坐标；
（2）用b可分别表示出C、D的坐标，则条件可求得D为CQ的中点，则可用b表示出Q点的坐标，代入反比例函数解析式可求得b的值；
（3）由直线和反比例函数解析式可用a表示出M、N的坐标，过P作PH⊥MN于点H，则可知H为MN的中点，则可得到关于a的方程可求得a的值．

解答 解：
（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-1，4），
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{4}{x}$，
当b=-3时，则直线解析式为y=-x-3，
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵P在第二象限，Q在第四象限，
∴P（-4，1）；

（2）如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G，

在y=-x+b中，令y=0可得x=b，令x=0可得y=b，
∴C（b，0），D（0，b），
∴OC=-b，OD=-b，
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴$\frac{1}{2}$OD•OG=$\frac{1}{2}$OD•OC，
∴OG=OC=-b，即O为CG的中点，
∴GQ=2OD=-2b，
∴Q（-b，2b），
∵点Q在反比例函数y=-$\frac{4}{x}$图象上，
∴-2b²=-4，解得b=$\sqrt{2}$（舍去）或b=-$\sqrt{2}$，
即b的值为-$\sqrt{2}$；

（3）如图2，过点P作PH⊥MN于点H，

在y=-x-3中令y=a可得x=-3-a，在y=-$\frac{4}{x}$中，令y=a可得x=-$\frac{4}{a}$，
∵P（-4，1），
∴H（-4，a），
∵PM=PN，
∴MH=NH，
∴-4-（-3-a）=-$\frac{4}{a}$-（-4），解得a=1或a=4，
当a=1时，M、N、P三点重合，舍去，
∴a=4，
故答案为：4．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识．在（1）中出两函数的解析式是解题的关键，在（2）中得出D为CQ的中点是解题的关键，在（3）中用a表示出M、N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．