Question

按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在2～10（含2和10）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在6～10（含6和10）之间．
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大（y随x的增大而增大）．
（1）若关系式是y=x+p（10-x），请说明：当p=

1

2

时，这种变换满足上述两个要求．
（2）请你再写出一个满足上述要求的一次函数的关系式：

 

．
（3）若按关系式y=a（x-2）²+k将数据进行变换，请直接写出一个满足上述要求的关系式，并探索a、k满足的条件．

Answer 1

分析：（1）将p=

1

2

代入函数关系式，求出一次函数的解析式，然后根据该函数的定义域求值域、根据函数图象的单调性来验证是否满足条件；
（2）利用（1）的结果，写出一个一次项系数是

1

2

的一次函数关系式即可；
（3）本题是开放性问题，答案不唯一．若所给出的关系式满足：（a）h≤2；（b）若x=2、x=10时，y的对应值m、n能落在6～10（含6和10）之间，则这样的关系式都符合要求．

解答：解：（1）当p=

1

2

时，y=x+

1

2

（10-x），即y=

1

2

x+5．
∴y随x的增大而增大，即当p=

1

2

时，满足条件（Ⅱ）；
又当x=2时，y=2+

1

2

（10-2）=6，
当x=10时，y=10+

1

2

（10-10）=10，
而原数据都在2～10（含2和10）之间，所以新数据都在6～10（含6和10）之间，即满足条件（Ⅰ）；
综上所述，当P=

1

2

时，这种变换满足要求；

（2）由（1）知，一次函数的关系式的一次项系数是

1

2

的都满足条件，例如y=

1

2

x+5满足要求；

（3）本题是开放性问题，答案不唯一．
若所给出的关系式满足：（a）h≤2；（b）若x=2、x=10时，y的对应值m、n能落在6～10（含6和10）之间，则这样的关系式都符合要求．
如取h=2，y=a（x-2）²+k；
当a＞0、x∈（2，10）时，y随着x的增大而增大；
令x=2，y=6时，k=6    ①
令x=10，y=10时，64a+k=10      ②
由①②解得，a=

1

16

，
∴满足上述要求的关系式时y=

1

16

（x-2）²+6．

点评：本题主要考查了二次函数、一次函数的性质．解答该题时，需特别熟悉二次函数、一次函数的图象的单调性和根函数的定义域求值域的知识．