Question

14．已知，如图，DA⊥AB，CB⊥AB，M是DC的中点，求证：MA=MB．

Answer 1

分析 延长CB交AM延长线于E，利用DA⊥AB，CB⊥AB得出DA∥CB，得出∠D=∠C，∠DAM=∠CEM，证得△DAM≌△CEM，得出MA=ME，进一步直角三角形的斜边中线
证得结论．

解答 证明：如图，

延长CB交AM延长线于E
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴DA∥CB，
∴∠D=∠C，∠DAM=∠CEM，
∵M是DC的中点，
∴DM=CM，
在△DAM和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{∠DAM=∠CEM}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△CEM（AAS），
∴AM=EM，
∵∠ABE=90°，
∴BM为直角三角形ABE的斜边中线，
∴BM=$\frac{1}{2}$AE=AM，
即MA=MB．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出辅助线，构造全等的三角形是解决问题的关键．