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3.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,以AB为直径作⊙O恰好与CD相切.
(1)求证:AD+BC=CD;
(2)若E为OA的中点,连结CE并延长交DA的延长线于F,当AE=AF时,求sin∠DCF.

分析 (1)作OH⊥CD于H,如图,根据切线的性质得到点H为切点,再证明AD和BC都与⊙O相切,则根据切线长定理得到DA=DH,CB=CH,于是有AD+BC=DH+CH=CD;
(2)先判断△AEF为等腰直角三角形得到∠F=45°,再判断△OBC为等腰直角三角形得BE=BC,作DG⊥BC于G,如图,易得四边形ABGD为矩形,则设AE=AF=x,AD=y,所以BE=BC=3x,CD=y+3x,DG=4x,CG=CB-BG=3x-y,接着在Rt△DGC中利用勾股定理可计算出y=$\frac{4}{3}$x,则CD=$\frac{13}{3}$x,DF=$\frac{7}{3}$x;作DK⊥CF于K,如图,则△KDF为等腰直角三角形,于是DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x,然后在Rt△CDK中根据正弦的定义求解.

解答 (1)证明:作OH⊥CD于H,如图,
∵以AB为直径作⊙O与CD相切,
∴点H为切点,
∵∠ABC=90°,AD∥BC,
∴AD⊥AB,BC⊥AB,
∴AD和BC都与⊙O相切,
∴DA=DH,CB=CH,
∴AD+BC=DH+CH=CD;
(2)解:∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴∠F=45°,
∵AF∥BC,
∴∠FCB=45°,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴BE=BC,
作DG⊥BC于G,如图,易得四边形ABGD为矩形,
设AE=AF=x,AD=y,则BE=BC=3x,
∴CD=y+3x,DG=4x,CG=CB-BG=3x-y,
在Rt△DGC中,∵DG2+CG2=CD2
∴(4x)2+(3x-y)2=(y+3x)2
∴y=$\frac{4}{3}$x,
∴CD=$\frac{4}{3}$x+3x=$\frac{13}{3}$x,DF=x+$\frac{4}{3}$x=$\frac{7}{3}$x,
作DK⊥CF于K,如图,则△KDF为等腰直角三角形,
∴DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x,
在Rt△CDK中,sin∠DCK=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{6}x}{\frac{13}{3}x}$=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$,
即sin∠DCF=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质.

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水位
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实际水位/米33.6
注:正表示水位比前一天上升,负表示水位比前一天下降.
(1)本周星期二、五河流的水位最高,水位在警戒水位之上(上或下);星期一河流的水位最低,水位在警戒水位之上(上或下);
(2)与上周相比,本周末河流水位是上升了(上升了或下降了);
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