分析 (1)作OH⊥CD于H,如图,根据切线的性质得到点H为切点,再证明AD和BC都与⊙O相切,则根据切线长定理得到DA=DH,CB=CH,于是有AD+BC=DH+CH=CD;
(2)先判断△AEF为等腰直角三角形得到∠F=45°,再判断△OBC为等腰直角三角形得BE=BC,作DG⊥BC于G,如图,易得四边形ABGD为矩形,则设AE=AF=x,AD=y,所以BE=BC=3x,CD=y+3x,DG=4x,CG=CB-BG=3x-y,接着在Rt△DGC中利用勾股定理可计算出y=$\frac{4}{3}$x,则CD=$\frac{13}{3}$x,DF=$\frac{7}{3}$x;作DK⊥CF于K,如图,则△KDF为等腰直角三角形,于是DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x,然后在Rt△CDK中根据正弦的定义求解.
解答 (1)证明:作OH⊥CD于H,如图,
∵以AB为直径作⊙O与CD相切,
∴点H为切点,
∵∠ABC=90°,AD∥BC,
∴AD⊥AB,BC⊥AB,
∴AD和BC都与⊙O相切,
∴DA=DH,CB=CH,
∴AD+BC=DH+CH=CD;
(2)解:∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴∠F=45°,
∵AF∥BC,
∴∠FCB=45°,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴BE=BC,
作DG⊥BC于G,如图,易得四边形ABGD为矩形,
设AE=AF=x,AD=y,则BE=BC=3x,
∴CD=y+3x,DG=4x,CG=CB-BG=3x-y,
在Rt△DGC中,∵DG2+CG2=CD2,
∴(4x)2+(3x-y)2=(y+3x)2,
∴y=$\frac{4}{3}$x,
∴CD=$\frac{4}{3}$x+3x=$\frac{13}{3}$x,DF=x+$\frac{4}{3}$x=$\frac{7}{3}$x,
作DK⊥CF于K,如图,则△KDF为等腰直角三角形,
∴DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x,
在Rt△CDK中,sin∠DCK=$\frac{DK}{DC}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{6}x}{\frac{13}{3}x}$=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$,
即sin∠DCF=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$.
点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
星期 水位 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
水位变化/米 | +0.2 | +0.8 | -0.4 | +0.1 | +0.3 | -0.4 | -0.1 |
实际水位/米 | 33.6 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1 | B. | 3 | C. | -1或3 | D. | -5或3 |
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