Question

6．如图，已知?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AB，DC分别交于点E，F
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若过点O的直线与AD、BC的延长线分别交于点H、G，求证：HF=EG．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明证明△AOE≌△COF，得出OE=OF即可；
（2）同（1）得：△ODH≌△OBG，得出OH=OG，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）证明：同（1）得：△ODH≌△OBG，
∴OH=OG，
∵OE=OF，
∴HF=EG．
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点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．