Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，且CA=8，CB=6，CD=5，E是AB的中点．
（1）求线段AB的长．
（2）试判断四边形AECD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AC⊥BC，且CA=8，CB=6，根据勾股定理，即可求得线段AB的长；
（2）由E是AB的中点，根据直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即可求得CE=AE=

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AB=5，又由CD=5，AB∥CD，即可证得四边形AECD是菱形．

解答：解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵CA=8，CB=6，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+CB2

=10；

（2）四边形AECD是菱形．
理由：∵E是AB的中点，
∴CE=AE=

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2

AB=5，
∵CD=5，
∴AE=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECD是菱形．

点评：此题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及直角三角形的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．