Question

如图所示，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；
（2）∠BAC=105°，求∠PAQ的度数．

Answer 1

分析：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP=BP，AQ=CQ，然后求出△APQ的周长=BC，代入数据进行计算即可得解；
（2）根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，根据三角形内角和定理求出∠BAP+∠CAQ，再求解即可．

解答：解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC，
∵△APQ的周长为12，
∴BC=12；

（2）∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∵∠BAC=105°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=105°-75°=30°．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．