Question

已知关于x的方程a²x²+（2a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）根据题意，得△=（2a-1）²-4a²＞0，解得a＜

1

4

．
∴当a＜

1

4

时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x₁，x₂互为相反数，则x₁+x₂=-

2a-1

a

=0  ①，
解得a=

1

2

，经检验，a=

1

2

是方程①的根．
∴当a=

1

2

时，方程的两个实数根x₁与x₂互为相反数．
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．

Answer 1

分析：（1）根据题意，应满足两个条件：△＞0，二次项系数不等于0，显然此解答漏掉了一个条件；
（2）利用根与系数的关系求得字母的值后，还要注意检验原方程是否有实数根．

解答：解：上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a²≠0且满足△=（2a-1）²-4a²＞0，
∴a＜

1

4

且a≠0；

（2）不存在这样的a．
∵方程的两个实数根x₁，x₂互为相反数，
则x₁+x₂=-

2a-1

a2

=0，
解得a=

1

2

，
经检验a=

1

2

是方程的根．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，
a的取值范围是a＜

1

4

且a≠0，
而a=

1

2

＞

1

4

（不符合题意）．
所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．

点评：注意：只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根．