Question

5．在如图的平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+bx+c经过点A（0，-2），B（2，-2）．
（1）该抛物线的对称轴为直线x=1，若点（-3，m）与点（3，n）在该抛物线上，则m＞n（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点坐标，并画出图象；
（3）设点C的坐标为（-3，-4），点C关于原点的对称点为C′，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在直线CC′以下部分为图象g，若直线CD与图象g有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点的纵坐标相同可知：A、B是对称点，可得对称轴，由抛物线的增减性可得：m＞n；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式，配方后写出顶点坐标，并画出图象；
（3）根据原点对称的点，横坐标相反，纵坐标相反可得：C′（3，4），如图2，分三种情况：
①当D的纵坐标为-4时，直线CD∥x轴，直线CD与图象g只有一个公共点，
②当D的纵坐标小于-4时，直线CD与图象g无公共点，
③求直线CC′的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x，设直线CC′与对称轴交于点D，求出此时点D的坐标，得符合要求的点D的纵坐标的最大值应小于$\frac{4}{3}$，从而得出结论．

解答 解：（1）由对称性得：抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点（-3，m）与点（5，m）对称，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵5＞3，
∴m＞n，
故答案为：x=1，＞；

（2）把点A（0，-2），B（2，-2）代入抛物线y=2x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{8+2b+c=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=2x²-4x-2=2（x-1）²-4，
∴抛物线的函数表达式为：y=2x²-4x-2，顶点坐标为（1，-4），图象如图1所示：

（3）由题意得：C′（3，4），
如图2，∵D在抛物线的对称轴上，
∴当D的纵坐标为-4时，直线CD∥x轴，直线CD与图象g只有一个公共点，
当D的纵坐标小于-4时，直线CD与图象g无公共点，
∵直线CC′经过原点，设直线CC′的解析式为：y=kx，
∵C（-3，-4），
∴-3k=-4，
k=$\frac{4}{3}$，
∴直线CC′的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x，
当x=1时，y=$\frac{4}{3}$，
∴符合要求的点D的纵坐标的最大值应小于$\frac{4}{3}$，
综上所述，-4≤t＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，熟练掌握抛物线的对称性是解本题的关键；第三问利用数形结合的思想解决问题．