Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF为等边三角形．请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由．
（2）当∠BAC等于多少度时，四边形ADEF是矩形？（不要求证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

解答：解：（1）四边形ADEF是平行四边形，
理由如下：
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，

AB=BD ∠DBE=∠ABC BC=BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
若四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

点评：本题考查了等边三角形的性质全等三角形的判定及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．