Question

已知：矩形ABCD．
（1）如图（1），P为矩形ABCD的边AD上一点，求证：PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）如图（2），当点P运动到矩形ABCD外时，结论是否仍然成立？请说明你的理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）矩形各内角为90°，故△ABP和△CDP为直角三角形，分别利用勾股定理求得PA、PB、PC、PD的关系式并且化简求值即可解题；
（2）过点P作PF∥AB交AD于点E，交BC于点F，EF把矩形ABCD分成两个矩形，然后分别表示出PA、PB、PC、PD的平方，根据平方关系即可得解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°
在Rt△ABP和Rt△CDP中根据勾股定理可得
PB²=PA²+AB²
PC²=PD²+CD²
∴PB²+PD²=PA²+AB²+PD²
AB²+PD²=PC²
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）如图，

过点P作PF∥AB交AD于点E，BC于点F，则四边形ABFE，四边形FCDE都是矩形，
根据勾股定理得，PA²=AE²+PE²，PB²=BF²+PF²，PC²=FC²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∵AE=BF，DE=FC，
∴（AE²+PE²）+（FC²+PF²）=（BF²+PF²）+（DE²+PE²），
即PA²+PC²=PB²+PD²．

点评：本题考查了矩形的对边平行且相等的性质，勾股定理的运用，读懂题目信息，根据题目提供的信息找出思路，然后作出辅助线是解题的关键．