Question

【题目】已知：点E为AB边上的一个动点．
（1）如图1，若△ABC是等边三角形，以CE为边在BC的同侧作等边△DEC，连结AD．试比较∠DAC与∠B的大小，并说明理由；

（2）如图2，若△ABC中，AB=AC，以CE为底边在BC的同侧作等腰△DEC，且△DEC∽△ABC，连结AD．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由；

（3）如图3，若四边形ABCD是边长为2的正方形，以CE为边在BC的同侧作正方形ECGF．
①试说明点G一定在AD的延长线上；
②当点E在AB边上由点B运动至点A时，点F随之运动，求点F的运动路径长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DAC=∠B

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等边三角形

∴∠DCE=∠ACB=60°

∴∠BCE=∠ACD

在△BEC和△ADC中，

∴△BCE≌△ACD．

∴∠B=∠DAC

（2）解：AD∥BC

理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰三角形，且△DEC∽△ABC

∴

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠DCA=∠ECB．

∴△DCA∽△ECB．

∴∠DAC=∠EBC=∠ACB．

∴AD∥BC

（3）解：①连结DG．

∵四边形ABCD和FECG都是正方形

∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°．

∴∠BCE=∠DCG．

∴△BCE≌△DCG．

∴∠B=∠CDG=90°．

∵∠ADC=90°．

∴∠ADC+∠CDG=180°

∴点G一定在AD的延长线上．

②作FH⊥AG于点H．

∵∠BCE+ECD=90°，∠ECD+DCG=90°，

∴∠BCE=∠GCD．

∵∠GCD+∠CGD=90°，∠CGD+∠FGH=90°

∴∠FGH=∠GCD．

∴∠BCE=∠FGH=∠GCD．

在△FHG和△GDC和△EBC中，

，

∴△FHG≌△GDC≌△EBC，

∴FH=BE=DG，HG=BC，

∴AH=AG﹣GH=AD+DG﹣GH=BC+DG﹣BC=DG=FH，

∴△AFH是等腰直角三角形，

∴∠FAG=45°．

∴点F的运动路径长=AC= =2

【解析】（1）可观察后猜想两角相等，须证两角所在的三角形全等，即△BCE≌△ACD，得出∠B=∠DAC；（2）类比（1）的方法，观察图形，可猜想△DEC∽△ABC，进而证出△DCA∽△ECB，得出∠DAC=∠EBC=∠ACB，AD∥BC；（3）先研究起始位置A，由△FHG≌△GDC≌△EBC，可得△AFH是等腰直角三角形，F的运动方向为沿与AD夹角为45度方向移动，终点为F，点F的运动路径长=AC，利用勾股定理求出.

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．