Question

已知，如图：∠DME=∠A=∠B=α，M为线段AB中点，AE与BD交于C，交MD于F，ME交BD于G．
（1）求证；△EMF∽△EAM；
（2）连结FG，如果α=30°，AB=，AF=5，求FG的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠DME=∠A=∠B=α，∠MEF=∠AEM，
∴△EMF∽△EAM；

（2）解：连接FG、MC，过F作FK⊥BD，
∴∠α=30°，
∴∠DME=∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，∠FCK=60°，
∵M为线段AB中点，AB=6，
∴∠ACM=60°，
∴AC=BC=6，
∵∠BMG+∠AFM=150°，∠AMF+∠AFM=150°，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△BMG∽△AFM，
∴，
∵AF=5，
∴，
∴BG=，
∴CG=，FC=6-5=1，
∴FK=，CK=，
∴GK=，
∴FG==．
分析：（1）根据由两对角相等的两个三角形相似即可证明△EMF∽△EAM；
（2）连接FG、MC，过F作FK⊥BD，首先证明△BMG∽△AFM，利用相似的性质可得，因为AF=5，所以，进而求出BG，再求出FK和CK的值，利用勾股定理即可求出GK的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质与判定以及勾股定理的运用，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．