Question

“百诚”公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的购买．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额-生产成本-投资）为z（万元）．
（1）请直接写出y与x之间，z与x之间的函数关系式：

 

，

 

；
（2）计算销售单价为200元时的第一年年获利，请问公司此时亏损还是盈利？并说明为了得到同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？
（3）公司计划：在第一年按年获利最大时确定的销售单价进行销售；第二年后总获利要不低于1840万元．请说明，第二年的销售单价x应确定在什么范围内．

Answer 1

分析：（1）由题意根据单价之间的关系，销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，年获利=年销售额-生产成本-投资，列出y与x，z与x的函数关系式；（2）把x=200代入函数式求出z；（3）在第一年按年获利最大时确定的销售单价进行销售，根据z与x的关系式，配方求出最值；第二年后总获利要不低于1840万元，令z≤1840解出x值的范围．

解答：解：由题意得：
（1）y=24-

x-120

10

，即：y=-

1

10

x+36，
z=-

1

10

x2+42x-4660；
（2）当x取200时，z=-

1

10

×2002+42×200-4660=-260
此时公司亏损了260万元
因为此抛物线的对称轴为x=210
所以当x=220时，也能获得同样的年获利
（3）z=-

1

10

(x-210)2-250
∴当x=210时，z取最大值，最大值为-250，
也就是说：当销售单价定为210元时，年获利最大，并且到第一年年底公司还差250万元就可收回全部投资
第二年的销售单价定为x元，
则年获利为z=(-

1

10

x+36)(x-60)
=-

1

10

x2+42x-2160=-

1

10

(x-210)2+2250，
当z年获利为1840万时，
即z=1840+250=2090，
所以令2090=-

1

10

(x-210)2+2250，
解得x₁=170，x₂=250，
当170≤x≤250时，z≥2090，
∴第二年的销售单价应确定在不低于170元且不高于250元的范围内．

点评：此题考查一次函数和二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，看似复杂其实比较简单．