【题目】已知,是等边三角形,是直线上一点,以为顶点做 . 交过且平行于的直线于,求证:;当为的中点时,(如图1)小明同学很快就证明了结论:他的做法是:取的中点,连结,然后证明. 从而得到,我们继续来研究:
(1)如图2、当D是BC上的任意一点时,求证:
(2)如图3、当D在BC的延长线上时,求证:
(3)当在的延长线上时,请利用图4画出图形,并说明上面的结论是否成立(不必证明).
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(4)见解析,,仍成立
【解析】
(1)在AB上截取AF=DC,连接FD,证明△BDF是等边三角形,得出∠BFD=60°,证出∠FAD=∠CDE,由ASA证明△AFD≌△DCE,即可得出结论;
(2)在BA的延长线上截取AF=DC,连接FD,证明△BDF是等边三角形得出∠F=60°,证出∠FAD=∠CDE,由ASA证明△AFD≌△DCE,即可得出结论;
(3)在AB的延长线上截取AF=DC,连接FD,证明△BDF是等边三角形,得出∠BFD=60°,证出∠FAD=∠CDE,由ASA证明△AFD≌△DCE,即可得出结论.
(1)证明:在AB上截取AF=DC,连接FD,如图所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∴△BDF是等边三角形,
∴∠BFD=60°,
∴∠AFD=120°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=120°=∠AFD,
而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(2)证明:在BA的延长线上截取AF=DC,连接FD,如图所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∴△BDF是等边三角形,
∴∠F=60°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=60°=∠F,
而∠FAD=∠B+∠ADB,∠CDE=∠ADE+∠ADB,
又∵∠ADE=∠B=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中,
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE;
(3)解:AD=DE仍成立.理由如下:
在AB的延长线上截取AF=DC,连接FD,如图所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∴∠FAD+∠ADB=60°,
又∵AF=DC,
∴BF=BD,
∵∠DBF=∠ABC=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴∠AFD=60°,
又∵AB∥CE,
∴∠DCE=∠ABC=60°,
∴∠AFD=∠DCE,
∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°,
∴∠FAD=∠CDE,
在△AFD和△DCE中,
,
∴△AFD≌△DCE(ASA),
∴AD=DE.
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【题目】已知点P(﹣3a﹣4,2+a),解答下列各题:
(1)若点P在x轴上,则点P的坐标为P ;
(2)若Q(5,8),且PQ∥y轴,则点P的坐标为P ;
(3)若点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,求a2018+2018的值.
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【题目】如图,在△ABC中,CD、CE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠A=30°,∠B=50°,求∠ECD的度数;
(2)试用含有∠A、∠B的代数式表示∠ECD(不必证明)
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【题目】在四边形中,是边上一点,点从出发以秒的速度沿线段运动,同时点从出发,沿线段、射线运动,当运动到,两点都停止运动.设运动时间为(秒):
(1)当与的速度相同,且时,求证:
(2)当与的速度不同,且分别在上运动时(如图1),若与全等,求此时的速度和值;
(3)当运动到上,运动到射线上(如图2),若的速度为秒,是否存在恰当的边的长,使在运动过程中某一时刻刚好与全等,若存在,请求出此时的值和边的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】一蓄水池有水40m3,按一定的速度放水,水池里的水量y(m3)与放水时间t(分)有如下关系:
放水时间(分) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
水池中水量(m3) | 38 | 36 | 34 | 32 | … |
下列结论中正确的是( )
A. y随t的增加而增大
B. 放水时间为15分钟时,水池中水量为8m3
C. 每分钟的放水量是2m3
D. y与t之间的关系式为y=40t
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知点,以O为圆心,OA为半径作,交y轴于点C,直线l:经过点C.
设直线l与的另一个交点为如图,求弦CD的长;
将直线l向上平移2个单位,得直线m,如图2,求证:直线m与相切;
在的前提下,设直线m与切于点P,Q为上一动点,过点P作,交直线QA于点如图,则的最大面积为______.
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【题目】一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶,该茶叶的成本价是80元/kg,销售单价不低于120元/kg.且不高于180元/kg,经销一段时间后得到如下数据:
销售单价x(元/kg) | 120 | 130 | … | 180 |
每天销量y(kg) | 100 | 95 | … | 70 |
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系.
(1)直接写出y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)当销售单价为多少时,销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】已知:如图,AB∥CD,EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,求证:EG∥FH.
证明:∵AB∥CD( ),
∴∠AEF=∠EFD( ),
∵EG平分∠AEF,FH平分∠EFD( ),
∴∠ =∠AEF,
∠ =∠EFD(角平分线定义),
∴∠ =∠ .
∴EG∥FH( )
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