Question

16．已知：菱形的两条对角线的长分别为a，b，面积为S．
求证：菱形的面积为S=$\frac{1}{2}$ab．

Answer 1

分析 根据菱形的两条对角线互相垂直平分得出AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，再由菱形的面积S=S_△ABD+S_△CBD，根据三角形的面积=底×高，代入即可证明．

解答 证明：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC=a，BD=b，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∴菱形的面积S=S_△ABD+S_△CBD
=$\frac{1}{2}$BD•OA+$\frac{1}{2}$BD•OC
=$\frac{1}{2}$b•$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b•$\frac{1}{2}$a
=$\frac{1}{2}$ab．

点评 本题考查了菱形的性质，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键，本题实际上证明了菱形的面积等于两对角线乘积的一半．