Question

如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，
（1）求证：四边形DHEF是等腰梯形；
（2）若DF=

2

3

HC，求证：H是BE的中点．

Answer 1

分析：（1）利用中位线定理可得出DF∥HE，及DH=

1

2

AB，EF=

1

2

AB，从而可证得结论．
（2）根据DF=

2

3

HC，然后根据中位线定理可得出3BE=2HE+2EC=2HE+2BE，进而可得出BE=2HE，然后可得出结论．

解答：解：（1）∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，
∴DF∥BC，EF=

1

2

AB，
又∵AH是△ABC的高，
∴HD=

1

2

AB，
∴HD=EF，
∵DF≠HE，
∴四边形DHEF为等腰梯形；

（2）∵DF是△ABC的中位线，E是BC的中点，
∴DF=

1

2

BC=BE，
又∵DF=

2

3

HC，
∴BE=

2

3

HC，
∴BE=

2

3

（HE+EC），
∴3BE=2HE+2EC=2HE+2BE，
∴BE=2HE，
∴H是BE的中点．

点评：本题利用了三角形中位线的性质和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的性质，有一定难度，注意基本性质的掌握．