Question

6．我校附近某体育用品店销售甲、乙两种跳绳，已知甲种跳绳进价为40元/根，售价为43元/根；乙种跳绳进价为25元/根，售价为30元/根．该体育用品店计划购进两种跳绳若干，共需1550元，预计全部销售后获利润共210元．
（1）该体育用品店购进甲、乙两种跳绳各多少银？
（2）通过对我校学生需求的调研，该店决定在原计划的基础上，减少甲种跳绳的进货数量，增加乙种跳绳的进货数量，已知乙种跳绳增加的数量是甲种跳绳减少的数量的3倍，而且用于购进这两种跳绳的总资金不超过1725元，该店应怎样进货，才能使全部销售后获得的利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）设体育用品店购进甲种跳绳x根，乙种跳绳y根，根据跳绳的购买金额为1550元和两种跳绳的销售利润为210元建立方程组求出其解即可；
（2）设甲种跳绳减少a根，则乙种甲种跳绳增加3a根，表示出购买的总资金，由总资金部不超过1725元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．

解答 解：（1）设体育用品店购进甲种跳绳x根，乙种跳绳y根，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{40x+25y=1550}\\{3x+5y=210}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=30}\end{array}\right.$．
答：体育用品店购进甲跳绳20根、乙种30根；
（2）设甲种跳绳减少a根，则乙种跳绳增加3a根，由题意得40（20-a）+25（30+3a）≤1725，
解得a≤5
设全部销售后的毛利润为w元．则
w=3（20-a）+5（30+3a）=12a+210．
∵12＞0，
∴w随着a的增大而增大，
∴当a=5时，w有最大值，w_最大=12×5+210=270，
答：当体育用品店购进甲跳绳15根、乙种45根时，全部销售后毛利润最大，最大毛利润是270元．

点评 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．