Question

19．如图，边长为1的正方形ABCD的AB边在直线MN上．正方形沿直线MN作无滑动翻滚．当A第3次落在MN上时（开始时A点第1次落在MN上），A点运动的路程为（　　）

• A． $（{2+2\sqrt{2}}）π$
• B． 4π
• C． $（{2+\sqrt{2}}）π$
• D． 3π

Answer 1

分析 根据题意，点A翻滚一周经过的路程弧长分为四段，第一段以对角线为半径，圆心角为$\frac{π}{2}$，第二段以边为半径，圆心角为$\frac{π}{2}$，第三段以A为圆心，位置不动，第四段以边长为半径，圆心角为$\frac{π}{2}$，根据弧长公式计算即可．

解答 解：∵正方形ABCD的边AB=1，
∴对角线AC=$\sqrt{2}$，
根据题意：点A翻滚一周经过的路程弧长l=$\frac{π}{2}×\sqrt{2}+2×\frac{π}{2}×1$=π$+\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
∴当A第3次落在MN上时，
A点运动的路程=2×（π$+\frac{\sqrt{2}}{2}π$）=2π+$\sqrt{2}$π．
故选C．

点评 本题考查了弧长的计算，旋转的性质，正方形的性质，熟记弧长的计算公式是解题的关键．