Question

19．如图，在△ABC中，BC=5，高AD、BE相交于点O，BD=$\frac{2}{3}$CD，且AE=BE．
（1）求线段AO的长；
（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF=BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；

解答 解：（1）如图1中，

∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵BE是高，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠EAO=∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠EBC}\\{AE=BE}\\{∠AEO=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BCE，
∴AO=BC=5．

（2）∵BD=$\frac{2}{3}$CD，BC=5，
∴BD=2，CD=3，
由题意OP=t，BQ=4t，
①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，
∴S=$\frac{1}{2}$•t（2-4t）=-2t²+t（0＜t＜$\frac{1}{2}$）．
②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$•t（4t-2）=2t²-t（$\frac{1}{2}$＜t≤5）．

（3）存在．
①如图2中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ=OP，
∴5-4t═t，
解得t=1，
②如图3中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ=OP，
∴4t-5=t，
解得t=$\frac{5}{3}$．
综上所述，t=1或$\frac{5}{3}$s时，△BOP与△FCQ全等．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．