Question

如图，在平面直角坐标系内，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA，S_△ABC=16．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OB=2OA，S_△ABC=16，
∴OA×OB=16，
∴×OA×2OA=16，
∴OA=4，OB=8，
即A（0，4）B（-8，0），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=，
故直线AB的解析式是y=x+4；

（2）在x轴上存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
理由是：∵四边形ADCO是正方形，A（0，4），
∴∠D=∠DC0=90°=∠PCB，AD∥OC，AD=OC=DC=OA=4，
∴BC=4=AD，
∵AD∥OC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ADP和△BCP中，
∵，
∴△ADP≌△BCP（ASA），
∴DP=CP=2，
∵Q在x轴上，
∴以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似，
首先有∠ADP=∠PDQ=90°，
故只有当具备条件=或=时，两三角形就相似，
即=或=，
解得：CQ=1或CQ=4，
即符合条件的点有4个：当CQ=1时，点Q的坐标是（-3，0）或（-1，0）；
当CQ=4时，点Q的坐标是（-6，0）或（2，0）．
分析：（1）根据三角形的面积求出OA，得出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出即可；
（2）证△ADP≌△BCP，求出DP=CP=2，根据相似三角形的判定定理（有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）得出两个比例式，代入求出即可．
点评：本题考查了一次函数的应用，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，注意：要进行分类讨论．