Question

如图，等边三角形ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与三角形ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E．
（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长；
（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置；如不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=60°，
作PF⊥BC于F
∵AP=x，BP=3-x，
∴BF=（3-x），PF=（3-x），CF=（3+x），
∴CP²=PF²+CF²
∴y=，0＜x＜3；

（2）∵AP=BQ，
∴AB=AC，∠B=∠BAC，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠PCA，
∠BPC=∠BAC+∠PAC，∠EQC=∠B+∠BAQ，
∴∠BPC=∠EQC，
∵∠PCB=∠QCE，
∴△CEQ∽△CBP，
∴==，
∴，
∴x=（舍），x=，
AP的长为；

（3）∵△ABQ≌△CAP，
∴∠APC=∠AQB，
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CEQ=∠B=60°，
∴AQ和CP不可能互相垂直．
分析：（1）作PF⊥BC，在直角△BPF中，利用勾股定理即可得到关于x，y的方程，即可写出函数关系式；
（2）证明△CEQ∽△CBP，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）由△ABQ≌△CAP，易证得∠CEQ=∠B=60°，即可得AQ和CP不可能互相垂直．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．