Question

已知关于x的一元二次方程：x²-3（m-1）x+（m-1）²=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）如果原方程的两个实数根为x₁，x₂且（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）计算判别式的值得到△=5（m-1）²，根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=3（m-1），x₁x₂=（m-1）²≥0，即两个根同号，所以当x₁≥0，x₂≥0，则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，得到9（m-1）²-4（m-1）²=3（m-1），整理得5m²-13m+8=0；当x₁≤0，x₂≤0，则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），得到9（m-1）²-4（m-1）²=-3（m-1），整理得5m²-7m+2=0，然后分别解关于m的一元二次方程即可得到m的值．

解答：解：（1）∵△=9（m-1）²-4（m-1）²=5（m-1）²≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=3（m-1），x₁x₂=（m-1）²≥0，
∵（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，
当x₁≥0，x₂≥0，（x₁-x₂）²=x₁+x₂，则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，9（m-1）²-4（m-1）²=3（m-1），整理得5m²-13m+8=0，解得m₁=

8

5

，m₂=1；
当x₁≤0，x₂≤0，（x₁-x₂）²=-（x₁+x₂），则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），9（m-1）²-4（m-1）²=-3（m-1），整理得5m²-7m+2=0，解得m₁=

2

5

，m₂=1；
∴m的值为1或

2

5

或

8

5

．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．