Question

已知：平面直角坐标系中，直线y=ax+1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，该直线与双曲线y=

k

x

在第三象限的交点为C（-2

3

，m），且S_△AOB的面积为

3

2

．
（1）求a、m、k 的值；
（2）以BC为一边作等边三角形BCD，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出A点坐标为（-

1

a

，0），B点坐标为（0，1），再根据三角形面积公式由S_△AOB的面积为

3

2

可求出a的值，且该直线与双曲线y=

k

x

在第三象限的交点为C（-2

3

，m），则a的为正数，从而确定直线解析式，然后把C（-2

3

，m）代入直线解析式可求出m，再把C点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值；
（2）过C作CE⊥y轴于E，由A（-

3

，0），B（0，1）易得∠BAO=30°，则∠BCE=30°，∠CBE=60°，利用C点坐标为（-2

3

，-1），则OE=1，BE=2，BC=4，讨论：当△BCD为等边三角形，
根据等边三角形的性质得到∠DCB=60°，DC=CB=4，得到∠DCE=60°+30°=90°，易得D点坐标；当△BCD′为等边三角形，同理可得到D′坐标．

解答：解：（1）对于y=ax+1（a≠0），令x=0，则y=1；令y=0，则x=-

1

a

，
∴A点坐标为（-

1

a

，0），B点坐标为（0，1），
∵S_△AOB的面积为

3

2

，
∴

1

2

×|-

1

a

|×1=

3

2

，解得a=±

3

3

，
∵直线y=ax+1（a≠0）与双曲线y=

k

x

在第三象限的交点为C（-2

3

，m），
∴a＞0，
∴a=

3

3

，
把C（-2

3

，m）代入y=

3

3

x+1得m=-2

3

×

3

3

+1=-1，
∴C点坐标为（-2

3

，-1），
把C（-2

3

，-1）代入双曲线y=

k

x

得k=-2

3

×（-1）=2

3

，
∴a=

3

3

，m=-1，k=2

3

；

（2）如图，过C作CE⊥y轴于E，
∵A（-

3

，0），B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴∠BAO=30°，
∴∠BCE=30°，∠CBE=60°，
∵C点坐标为（-2

3

，-1），
∴OE=1，BE=2，
∴BC=4，
当△BCD为等边三角形，
则∠DCB=60°，DC=CB=4，
∴∠DCE=60°+30°=90°，
∴D点坐标为（-2

3

，3）；
当△BCD′为等边三角形，
则∠D′BC=60°，D′B=CB=4，
∵∠CBE=60°，
∴点D′在y轴上，
∴OD′=4-1=3，
∴D′的坐标为（0，-3），
∴点D的坐标为（-2

3

，3）或（0，-3）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在图象上，点的坐标满足图象的解析式；掌握等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系；正解运用线段的长表示点的坐标．