Question

6．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F．
（1）求证：BD²=BF²+4CE²；
（2）若BC=3，sinB=$\frac{4}{5}$，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE、DF，交于点G，由勾股定理可得BD²=BF²+DF²，再由垂径定理可证明DF=2CE，可证得结论；
（2）设BD=2r，CF=EG=x，可表示出OG、BF，又DF∥AC，可得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{DF}{AC}$，由条件可求得AC、BC、AB，可求得BF=6-3r，再由$\frac{BF}{BD}$=$\frac{3}{5}$可求得r，则可求得BF．

解答 （1）证明：如图，连接OE、FD，交于点G，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠DFB=∠C=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴∠GEC=90°，
∴四边形CEGF为矩形，
∴FG=CE，
又∵EO过圆心，
∴DF=2CE，
在Rt△BDF中，由勾股定理可得BD²=BF²+DF²，
∴BD²=BF²+4CE²；
（2）解：由sinB=$\frac{4}{5}$，BC=3，
解得AB=5，AC=4，
设BD=2r，CF=EG=x，
则BF=BC-x=3-x，OG=r-x，
∵O为BD中点，且OG∥BC，
∴OG为△BDF的中位线，
∴BF=2OG，
∴3-x=2（r-x），解得x=2r-3，
∴BF=3-（2r-3）=6-2r，
又∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{6-2r}{2r}$=$\frac{3}{5}$，解得r=$\frac{15}{8}$，
∴BF=6-2×$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查切线的性质及勾股定理、中位线定理、三角函数的综合应用，在（1）中证明DF=2CE是解题的关键，在（2）中求得半径的值是解题的关键．知识点较多，有一定的难度，在解题时注意方程思想的应用．