如图,已知⊙O的半径为4,CD为⊙O的直径,AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°,且AB=AC。
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)求弦AC的长;
(3)求图中阴影部分的面积。
(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)如图,连接OA,欲证明AAB为⊙O的切线,只需证明AB⊥OA即可;
(2)如图,连接AD,构建直角△ADC,利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理来求弦AC的长度;
(3)根据图示知,图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积.
试题解析:(1)证明:如图,连接OA.
∵AB=AC,∠ABC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∴∠AOB=2∠ACB=60°,
∴在△ABO中,∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°,即AB⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线;
(2)解:如图,连接AD.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.
∵由(1)知,∠ACB=30°,
∴AD= CD=4,
则根据勾股定理知AC=.
即弦AC的长为.
(3)由(2)知,在△ADC中,∠DAC=90°,AD=4,AC=
则S△ADC=AD•AC=×4×=.
∵点O是△ADC斜边上的中点,
∴S△AOC=S△ADC=.
根据图示知,S阴影=S扇形ADO+S△AOC=,
即图中阴影部分的面积是.
考点: 1.切线的判定;2.扇形面积的计算.
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