Question

18．如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD=∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；
（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD-CD=$\sqrt{3}$AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）如图2，由∠CDP=120°，根据邻补角互补得出∠CDB=60°，那么∠CDB=∠BAC=60°，所以A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD；在BP上截取BE=CD，连接AE．利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB，再证明△ADE是等边三角形，得到DE=AD，进而得出BD=CD+AD．
（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．先由两角对应相等的两三角形相似得出△DOC∽△AOB，于是∠DCA=∠EBA．再利用SAS证明△DCA≌△EBA，得出AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=$\frac{180°-120°}{2}$=30°．解Rt△ADF，得到DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，那么DE=2DF=$\sqrt{3}$AD，进而得出BD=DE+BE=$\sqrt{3}$AD+CD，即BD-CD=$\sqrt{3}$AD；
（3）根据旋转的性质可得线段BD、CD与AD之间的数量关系．

解答 解：（1）如图2，∵∠CDP=120°，
∴∠CDB=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CDB=∠BAC=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ACD=∠ABD．
在BP上截取BE=CD，连接AE．
在△DCA与△EBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠ABE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD．
∵BD=BE+DE，
∴BD=CD+AD．
故答案为=，BD=CD+AD；

（2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F．
∵∠CDP=60°，
∴∠CDB=120°．
∵∠CAB=120°，
∴∠CDB=∠CAB，
∵∠DOC=∠AOB，
∴△DOC∽△AOB，
∴∠DCA=∠EBA．
在△DCA与△EBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠ABE}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△EBA（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．
∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，
∴∠DAE=120°，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-120°}{2}$=30°．
∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴DE=2DF=$\sqrt{3}$AD，
∴BD=DE+BE=$\sqrt{3}$AD+CD，
∴BD-CD=$\sqrt{3}$AD；

（3）线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD=$\sqrt{3}$AD或CD-BD=$\sqrt{3}$AD．

点评 本题是几何变换综合题，其中涉及到四点共圆，圆周角定理，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线证明△DCA≌△EBA是解题的关键．