Question

【题目】四边形是由等边和顶角为120°的等腰三角形拼成，将一个60°角顶点放在点处，60°角两边分别交直线于，交直线于两点．

（1）当都在线段上时，探究之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）当在边的延长线上时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）BM+AN=MN，证明见解析；（2）见解析；

【解析】

（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；

（1）证明：∵四边形是由等边和顶角为120°的等腰三角形拼成，

∴∠CAD=∠CBD=60°+30°=90°

把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，

则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠CBD=∠QAD =90°
∴∠CAD+∠QAD =180°
∴N、A、Q三点共线

∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，

∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；

（2）MN+AN=BM．
理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，

则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，

∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；
∴MN=BM -AN；