已知抛物线L:
(1)证明:不论k取何值,抛物线L的顶点C总在抛物线上;
(2)已知时,抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B,求A、B间距取得最大值时k的值;
(3)在(2)A、B间距取得最大值条件下(点A在点B的右侧),直线y=ax+b是经过点A,且与抛物线L相交于点D的直线. 问是否存在点D,使△ABD为等边三角形,如果存在,请写出此时直线AD的解析式;如果不存在,请说明理由.
(1)见解析(2)2(3)存在,理由见解析
【解析】(1)抛物线L的顶点坐标C是(,)……2分
将顶点坐标C代入
左边=
右边==
左边=右边
所以无论k取何值,抛物线L的顶点C总在抛物线上. ……3分
(2)已知时,抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B
设,,
依题意 ……5分
由此可知,当k=-2时,AB达到最大值,
而k=-2恰好在内,
所以A、B间距取得最大值时k的值为2 ……8分
(3)存在。 ……9分
因为若△ABD是等边三角形,则点D应在线段AB的垂直平分线上,即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上,所以若满足条件的D存在,点D应是此抛物线的顶点..
当k=-2时,抛物线L为 ,顶点D(-2,-3)
解方程,得,
所以(),()
如图,在△ABD中,DB=DA
D为AB中点, AB=,
∴AD=,
∴∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形 ……12分
因为直线在()、D()D,所以依题意
把k=2代入
解得,
所以所求为……14分
(2)方法二:设,,
由根与系数关系,得, ……6分
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
由此可知,当k=-2时,AB达到最大值,
而k=-2恰好在内,
所以A、B间距取得最大值时k的值为2 ……8分
(1)利用顶点坐标求证
(2)设,,求出AB 的长,从而求出k的值
(3)因为若△ABD是等边三角形,则点D应在线段AB的垂直平分线上,即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上,所以若满足条件的D存在,点D应是此抛物线的顶点,通过AB的长求出AD的长,通过()、D(),求出直线AD的解析式
科目:初中数学 来源: 题型:
15 | 2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
1 | 40 |
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科目:初中数学 来源: 题型:
c | a |
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