Question

（2000•西城区）已知：抛物线与抛物线在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点．
（1）试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；
（2）若A、B两点到原点的距离AO、OB满足，求经过A、B两点的这条抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需令每一条抛物线的解析式等于0，计算每一个方程的判别式△的值，使△＞0的即为所求；
（2）如果设点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁、x₂是方程x²+mx-=0的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系及已知条件，可求出m的值，进而得到抛物线的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线不过原点，
∴m≠0．
令x²-mx+=0，
∴△₁=（-m）²-4×=-m²＜0，与x轴没有交点．
令x²+mx-=0，
∵△₂=m²-4（-）=4m²＞0，
∴抛物线y=x²+mx-经过A、B两点；

（2）设点A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁、x₂是方程x²+mx-=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-m，x₁•x₂=-，
∵AO=-x₁，OB=x₂，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得m=2，经检验，m=2是方程的解．
∴所求抛物线的解析式为y=x²+2x-3．
点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系．