Question

如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：

    ①当α=30°时，与的交点恰好为的中点；②当α=60°时，恰好经过点；

    ③在旋转过程中，存在某一时刻，使得；  ④在旋转过程中，始终存在，其中结论正确的序号是        .(多填或填错得0分，少填酌情给分）

Answer 1

①  ②  ④

解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，

             ∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确 

        如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,

              则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,

              ∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确

       如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,

              ∴,∴AA′=BB′.错误

       如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,

               ∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°),

            ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A

            ∵ ∠CBB′=∠CA′A ,

            ∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,

            ∴AA′⊥BB′.正确

                ∴①，②，④正确.