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    如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E精英家教网．其顶点M在第一象限．
    （1）求该抛物线所对应的函数关系式；
    （2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．
    ①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；
    ②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；
    ③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．
    分析：（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式；
    （2）设A点横坐标为m，则
    3
    2
    ＞m＞0，AB=3m-m2，BC=3-2m，矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6．
    ①根据线段AB、BC的长都是整数个单位长度及
    3
    2
    ＞m＞0，确定m的值，从而求出矩形ABCD的周长；
    ②将-2m2+2m+6配方，根据二次函数的性质，得出矩形ABCD的周长的最大值，并求出此时点A的坐标；
    ③将矩形ABCD的周长取得最大值时的m的值代入它的面积表达式AB•BC=（3m-m2）（3-2m）中，计算出其值为2.5，然后在
    3
    2
    ＞m＞0的范围内找到一个m=
    3
    4
    时，矩形ABCD的面积=2.53125＞
    5
    2
    ，从而得到当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
    解答：解：（1）由题意，代入原点到二次函数解析式
    则9-b2=0，
    解得b=±3，
    由题意抛物线的对称轴大于0，
    b
    2
    ＞0    ，
    所以b=3，
    所以解析式为y=-x2+3x；

    （2）设A点横坐标为m，则
    3
    2
    ＞m＞0，
    AB=3m-m2，BC=2（
    3
    2
    -m）=3-2m，
    ∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（-m2+m+3）=-2m2+2m+6．
    ①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则
    3m-m2＞0且为整数，3-2m＞0且为整数，
    ∴m=1．
    ∴矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6=6；
    ②∵矩形ABCD的周长=-2m2+2m+6=-2（m2-m）+6=-2（m2-m+
    1
    4
    -
    1
    4
    ）+6=-2（m-
    1
    2
    ）2+
    13
    2
    ，
    ∴当m=
    1
    2
    时，有最大值=
    13
    2
    ，
    此时点A的坐标为（
    1
    2
    ，
    5
    4
    ）；
    ③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m=
    1
    2
    ，
    此时，矩形ABCD的面积=AB•BC=（3m-m2）（3-2m）=
    5
    2
    ，不是最大值．
    ∵当m=
    3
    4
    时，矩形ABCD的面积=（3m-m2）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞
    5
    2
    ．
    ∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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