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    如图，矩形A′BC′O′是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点O'，C在x轴负半轴上，线段OA在y轴正半轴上，B点的坐标为（-1，3）．
    （1）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O、O′两点且图象顶点M的纵坐标为
    -1．求这个二次函数的解析式；
    （2）求边O′A′所在直线的解析式；
    （3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得S△PO′M=3S△CO′D，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）连接BO、BO′，根据旋转的性质可得BO=BO′，再根据对称性可知OC=O′C，然后结合点B的坐标求出点O′的坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；
    （2）先利用角角边证明△A′BD与△CO′D全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=O′D，然后在Rt△CDO′中，利用勾股定理求出CD的长度，即可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线O′A′的解析式；
    （3）先求出△CO′D的面积，然后根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x2+2x），过点P作PQ⊥x轴交直线O′M于点Q，求出直线O′M的解析式，然后设出点Q的坐标为（x，-x-2），然后根据S△PO′M=S△PQM-S△PO′Q，然后根据三角形的面积列式整理得到关于x的一元二次方程，求解即可得到点P的坐标．
    解答：解：（1）如图1，连接BO、BO′，由旋转的性质得BO=BO′，
    ∵BC⊥OC，
    ∴O′C=OC，
    ∵点B的坐标为（-1，3），顶点M的纵坐标为-1，
    ∴点O′（-2，0），M（-1，-1），
    ∴
    c=0
    4a-2b+c=0
    a-b+c=-1
    ，
    解得
    a=1
    b=2
    c=0
    ，
    ∴这个二次函数的解析式为y=x2+2x；

    （2）如图1，在△A′BD与△CO′D中，
    ∠A′=∠DCO′=90°
    ∠CDO′=∠A′DB
    A′B=CO′=1
    ，
    ∴△A′BD≌△CO′D（AAS），
    ∴BD=O′D，
    ∴O′D=3-CD，
    在Rt△CDO′中，O′D2=CD2+O′C2，
    即（3-CD）2=CD2+12，
    解得CD=
    4
    3
    ，
    ∴点D的坐标为（-1，
    4
    3
    ），
    设直线O′A′的解析式为y=kx+b，
    则
    -k+b=
    4
    3
    -2k+b=0
    ，
    解得
    k=
    4
    3
    b=
    8
    3
    ，
    ∴直线O′A′的解析式为y=
    4
    3
    x+
    8
    3
    ；

    （3）如图2，由点D的坐标为（-1，
    4
    3
    ）可得S△CO′D=
    1
    2
    O′C•CD=
    1
    2
    ×1×
    4
    3
    =
    2
    3
    ，
    若存在点P，使得S△PO′M=3S△CO′D，则S△PO′M=3×
    2
    3
    =2，
    由O′（-2，0），M（-1，-1）得，
    -2k+b=0
    -k+b=-1
    ，
    解得
    k=-1
    b=-2
    ，
    ∴直线O′M的解析式为y=-x-2，
    设点P的坐标为（x，x2+2x），
    过点P作PQ⊥x轴交O′M于点Q，则点Q的坐标为（x，-x-2），
    ∴S△PO′M=S△PQM-S△PO′Q，
    即S△PO′M=
    1
    2
    [（x2+2x）-（-x-2）]•[（-1-x）-（-2-x）]=2，
    整理得，x2+3x-2=0，
    解得x=
    -3±
    		17
    2
    ，
    当x=
    -3+
    		17
    2
    时，y=x2+2x=
    7-
    		17
    2
    ，
    当x=
    -3-
    		17
    2
    时，y=x2+2x=
    7+
    		17
    2
    ，
    ∴存在点P1（
    -3+
    		17
    2
    ，
    7-
    		17
    2
    ），P2（
    -3-
    		17
    2
    ，
    7+
    		17
    2
    ）．
    点评：本题综合考查了二次函数的问题，有旋转变换的性质，待定系数法求二次函数解析式，求直线的解析式，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，以及矩形的性质，综合性较强，难度较大，（3）中利用函数解析式设点的方法比较重要，也是求解的关键．
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