Question

（1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．

         画法初探

①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

 

辩证思考

②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；

特例分析

③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是  ▲  ；

④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．

（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．

     ①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？

       你的解答是：  ▲  （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．

        ②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

Answer 1

解：（1）①画图正确．

②不是，如正三角形．

③直角三角形．

④∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠B＝∠ACB＝72°．

∵P是△ABC边AB上的相似点．

∴△CBP∽△ABC．

∴∠BCP＝∠A＝36°，且BPBC＝BCAB．

∴∠ACP＝36°＝∠A，∠B＝∠BPC．

∴AP＝CP＝BC．

  设BP＝x，AP＝CP＝BC＝y，有xy＝yy＋x ．

   化简，得x2＋xy－y2＝0．

   舍去负根，得xy＝5－12，即BPAP＝5－12．  7分

        （2）①在距离A点b2a处取点P，作PQ⊥CD，垂足为Q．

②辩证思考

问题：是不是所有的矩形都存在它的边上的相似线？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似线的矩形．

  解答：不是，如正方形．

特例分析

答案不唯一，以下答案供参考：

i）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且矩形PQCB∽矩形ABCD，a、b之间有何数量关系？

   解答：a＝2b．    12分

ii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，且P 是AB的中点，a、b之间有何数量关系？

   解答：a＝2b．    12分

iii）问题：已知PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，当a＝2，b＝1时，求AP．

解答：AP＝12．  12分

iv）问题：已知矩形ABCD为黄金矩形（即ba＝5－12），PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线，求APAD．

解答：APAD＝5－12． 12分