Question

如图，直线y=

3

5

x-4分别交x、y轴于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求B点的坐标；
（2）若D是OA中点，过A的直线l（3）把△AOB分成面积相等的两部分，并交y轴于点C．
①求过A、C、D三点的抛物线的函数解析式；
②把①中的抛物线向上平移，设平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，试问过M、N、B三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，求出圆的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵当x=0时，y=-4，
∴B点的坐标为（0，-4）；

（2）①∵过A的直线l（3）把△AOB分成面积相等的两部分，
∴C（0，-2），
又∵A（

20

3

，0），D是OA中点，
∴D（

10

3

，0），
设过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为：y=ax²+bx+c，
∴

400 9 a+ 20 3 b+c=0 100 9 a+ 10 3 b+c=0 c=-2

，
解得：

a=- 9 100 b= 9 10 c=-2

，
∴过A、C、D三点的抛物线的函数解析式为y=-

9

100

x²+

9

10

x-2；
②存在．
理由如下：抛物线的解析式可化为y=-

9

100

（x-5）²+

1

4

，其对称轴是x=5．
由于过M、N的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点B到圆心的距离要最短，过B作BE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EB长为半径的圆，
其面积为25π．