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5.如图,I是△ABC的内心,AI⊥DE,DB=1,CE=3,DE=2$\sqrt{3}$.

分析 根据I是△ABC的内心,可知BI、AI、CI是各内角的平分线,设∠ABI=x,∠ACI=y,∠BAI=z,根据三角形的内角和定理得:x+y+z=90°,在△ABI中,根据内角和得∠BID=90°-x-z,则∠BID=y=∠ACI,再由等腰三角形AED中三线合一的性质得:两底角相等,则两底角的外角也相等;证明△BDI∽△IEC,得$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$,代入计算可求出IE的长,则DE=2IE,求出结论.

解答 解:设∠ABI=x,∠ACI=y,∠BAI=z,
∵I是△ABC的内心,
∴2x+2y+2z=180°,
∴x+y+z=90°,
在△ABI中,∠ABI+∠BAI+∠AIB=180°,
∵AI⊥DE,
∴∠AID=90°,
∴x+z+90°+∠BID=180°,
∴∠BID=90°-x-z,
∴∠BID=y=∠ACI,
∵AI平分∠BAC,
∴AD=AE,
∴∠ADI=∠AEI,DI=EI,
∴∠BDI=∠IEC,
∴△BDI∽△IEC,
∴$\frac{BD}{IE}=\frac{DI}{EC}$,
∵DB=1,CE=3,
∴$\frac{1}{IE}=\frac{IE}{3}$,
∴IE=$\sqrt{3}$,
∴DE=2IE=2$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了三角形的内心,要知道三角形的内心是内切圆的圆心,三条角平分线的交点;反之也成立,即知道内心是I,则IA、IB、IC是三个角的平分线;本题的关键是证明两三角形相似,利用角平分线平分角的性质和三角形内角和定理得出等量关系式,利用两角对应相等,证明相似.

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107101098810
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