Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE⊥AB于E，点D是∠ECB平分线上一点，且BD=BC，CD交AB于F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BF=10，BD=20，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明BD⊥AB即可；
（2）连接AC，在Rt△CEO中，利用勾股定理求解．

解答 （1）证明：∵CD平分∠ECB，BC=BD，
∴∠ECD=∠BCD，∠BCD=∠D，
∴∠ECD=∠D，
∴CE∥BD，
∵CE⊥AB，
∴BD⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD为⊙O的切线；
（2）∵∠DBE=∠CEB=90°，∠CFE=∠DFB，
∴△DFB∽△CFE，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{CE}{BD}$，
∴$\frac{EF}{10}=\frac{CE}{20}$，
设EF=x，则CE=2x，
∵BD²=CE²+BE²，
∴20²=（2x）²+（x+10）²，
∴x=6，x=-10（不合题意，舍去），
∴EF=6，
∴BE=16，
连接AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴AB=25，
∴⊙O的直径是25．

点评 本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大．