Question

13．小明同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，求AC的长．

小明研究发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）在图2中，∠ACE的度数为75°；
（2）求AC的长．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠E=∠BAD=75°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理计算；
（3）过点D作DF⊥AC于点F，证明△ABE∽△FDE，根据相似三角形的性质求出EF、AF，根据正切的概念求出DF，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=75°，
∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，
故答案为：75；
（2）∵∠E=75°，
∴∠ACE=∠E，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，BD=2DC，
∴AD=2DE，
∴DE=1，
∴AE=3，
∴AC=3；
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3；
（3）如图3，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{AB}{DF}$=$\frac{BE}{ED}$=2，
∴EF=1，AB=2DF，
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°=$\sqrt{3}$，AD=2DF=2$\sqrt{3}$，
∴AC=AD=2$\sqrt{3}$，AB=2DF=2$\sqrt{3}$．
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．