分析 由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根,得出△=(-2a)2-4(a+2)>0,解得a<-1或a>2.设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α,β,利用根与系数的关系得到α+β=2a,αβ=a+2.
(1)由两根都大于1,得出(α-1)(β-1)>0,且对称轴-$\frac{-2a}{2}$>1,依此求出a的取值范围;
(2)由一根大于1,一根小于1,得出(α-1)(β-1)<0,依此求出a的取值范围;
(3)由两根都小于1,得出(α-1)(β-1)>0,且对称轴-$\frac{-2a}{2}$<1,依此求出a的取值范围.
解答 解:∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根,
∴△=(-2a)2-4(a+2)>0,
∴a<-1或a>2.
设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α,β,
α+β=2a,αβ=a+2.
(1)∵两根都大于1,
∴(α-1)(β-1)>0,
∴αβ-(α+β)+1>0,
∴a+2-2a>-1,
∴a<3,
又-$\frac{-2a}{2}$>1,a>1;
又a<-1或a>2,
∴2<a<3;
(2)∵一根大于1,一根小于1,
∴(α-1)(β-1)<0,
∴αβ-(α+β)+1<0,
∴a+2-2a<-1,
∴a>3,
∴a>3;
(3)∵两根都小于1,
∴(α-1)(β-1)>0,
∴αβ-(α+β)+1>0,
∴a+2-2a>-1,
∴a<3,
又-$\frac{-2a}{2}$<1,a<1;
又a<-1或a>2,
∴a<-1.
点评 本题考查了根的判别式,根与系数的关系,属于基础题,关键是要熟记x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-$\frac{b}{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.
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