Question

已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式，试求所有这样的实数a的和．

Answer 1

【答案】分析：方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x-1）把分式方程化为整式方程，再求出根的判别式△，然后分①△=0时，方程有两个相等实数根，②△＞0时，方程有有一个根是分式方程的增根，另一个根不是方程的增根，分别求出a的值，然后相加即可得解．
解答：解：方程两边都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）²+（x-1）²+2x+a+2=0，
整理得，2x²+2x+a+4=0，①
△=b²-4ac=2²-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，
即-8a-28=0，
解得a₁=-，
此时方程①有一个根x=-，验证可知x=-的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a₂=-8，
此时方程①的另一个根x=-2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，则原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a₃=-4，
此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；
因此a₁=-，a₂=-8，a₃=-4即为所求，
a₁+a₂+a₃=--8-4=-．
故答案为：-．
点评：本题考查了分式方程的增根，根的判别式，难点在于把分式方程化为一元二次方程后，分式方程有一个根，则一元二次方程可以有两个相等的实数根或有一个根是分式方程的增根，另一个不是分式方程的增根两种情况讨论求解．