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已知,DE是等腰直角三角形ABC的中位线,将△BED沿AB翻折使E落在F处,如图①,再将△ABC绕B点逆时针旋转α°(0<α<90°),连接AF,DC,如图②.
(1)观察猜想,∠AFB与∠BDC大小关系______(直接出正确结论);
(2)当α=30时,试判断△BDC的形状;
(3)在(2)的条件下,若DG=1,求DF的长.
(1)∵DE是等腰直角三角形ABC的中位线,将△BED沿AB翻折使E落在F处,
∴∠EDB=∠A=∠FDB=45°,∠DBE=∠DBF=90°,FD=DE,
∴FB=BE=BD,
∠CBD+∠ABD=90°,∠ABD+∠ABF=90°,
∴∠CBD=∠ABF,
在△CBD和△ABF中
AB=BC
∠ABF=∠CBD
BF=BD

∴△CBD≌△ABF(SAS),
∴∠AFB=∠BDC.
故答案为:∠AFB=∠BDC;

(2)如图②,延长BD至M使DM=BD,连接MC,则BM=2DB,
∵DE是等腰直角三角形ABC的中位线,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∵BM=BC,BC=2BD,BC=2CE,BE=BD,
∴BC=BM,
∵∠CBE=30°,
∴∠DBC=60°,
∴△BMC为等边三角形,
∴DC⊥BD,
∴△DCB直角三角形;

(3)设DB=a,∴BC=2a,
DC=
4a2-a2
=
3
a

AF=
3
a

∵∠AFB=∠BDC,
∴∠AFB=90°,
∴AFDB,
DG
GF
=
DB
AF
=
a
3
a
=
3
3

∵DG=1,
∴FG=
3

DF=
3
+1
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