Question

14．如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为（　　）

• A． $\frac{1}{2015}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． $\frac{1}{{2}^{2015}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的$\frac{1}{2}$，所以新三角形周长是前一个三角形的$\frac{1}{2}$．

解答 解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的$\frac{1}{2}$，所以：
第2个三角形对应周长为$\frac{1}{2}$；
第3个三角形对应的周长为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）²；
第4个三角形对应的周长为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）³；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为（$\frac{1}{2}$）^n-1；
所以第2016个三角形对应的周长为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．
故选：C．

点评 此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的$\frac{1}{2}$的规律，进行分析解决题目．