Question

如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；
（3）设CD=a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．

Answer 1

分析：（1）因为点E为切点，则得到∠AED=90°，已知有一组公共角，则根据有两组角相等的两个三角形相似可推出△ADE∽△ABC；
（2）连接DF，则DE=DF，设CD=x，则AD=6-x，根据相似三角形的对应边成比例可得到DE的长，再利用勾股定理求得DF的长，则解方程即可得到CD的长；
（3）取a=3，（可取

3 5 -3

2

＜a＜6的任意一个数），则AD=3，根据DE＜AD即可得到DE＜DC从而得到⊙D与BC没有公共点．

解答：（1）证明：∵点E是切点
∴∠AED=90°
∵∠A=∠A，∠ACB=90°
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：连接DF，则DE=DF
设CD=x，则AD=6-x
∵△ADE∽△ABC
∴

DE

BC

=

AD

AB

∴DE=

6-X

5

在RT△DCF中
DF²=x²+CF²=x²+4
∴

(6-X)2

5

=x²+4
x²+3x-4=0
∴x=1，x=-4（舍去）
∴CD=1（当CD=1时，0＜x＜6，所以点D在AC上）；

（3）解：取a=3，（可取

3 5 -3

2

＜a＜6的任意一个数）则AD=AC-CD=3，
∵DE＜AD，
∴DE＜DC，即d＞r，
则⊙D与BC相离，
∴当a=3时，⊙D与BC没有公共点．

点评：此题主要考查学生对切线的性质，相似三角形的判定及勾股定理等知识点的综合运用．